Analisis Kemampuan Penalaran Aljabar Mahasiswa
ANALISIS KEMAMPUAN PENALARAN ALJABAR MAHASISWA
Neneng Tita Rosita
STKIP Sebelas April Sumedang
ABSTRAK
Kemampuan penalaran aljabar merupakan hal yang penting, namun kenyataannya kemampuan penalaran aljabar mahasiswa masih rendah. Tujuan penelitian ini mendeskripsikan pelevelan penalaran aljabar siswa (berdasarkan pelevelan model SOLO) dan juga mendeskripsikan bagaimana mahasiswa memecahkan empat level penalaran aljabar (berdasarkan model SOLO) dalam mengkonstruksi proses penalaran aljabar dalam hal: menyelidiki pola, merepresentasikan dan mengeneralisasi pola, menerapkan dengan situasi terkait, dan menghasilkan solusi alternatif atau situasi baru. Metode penelitian ini adalahkualitatif deskriptif. Subjek penelitian mahasiswa STKIP Sebelas April sebanyak 38 orang. Instrumen utama penelitian ini adalah peneliti sendiri yang dibantu dengan instrumen tes penalaran aljabar dan wawancara. Hasil penelitian terdapat enam level penalaran aljabar yakni: level unisruktural rendah, level unistuktural, level multistruktural, level relational, level relational tinggi, dan level extended abstract.
Kata kunci: Aljabar, penalaran aljabar, pelevelan penalaran aljabar
PENDAHULUAN
Tujuan diberikannya mata pelajaran matematika adalah agar siswa memberikan kontribusi dalam mendukung pencapaian kompetensi lulusan pendidikan dasar dan menengah melalui pengalaman belajar, agar mampu diantaranya: (1) memahami konsep dan menerapkan prosedur matematika dalam kehidupan sehari-hari, (2) membuat generalisasi berdasarkan pola, fakta, fenomena, atau data yang ada, (3) melakukan penalaran matematis yang meliputi membuat dugaan dan memverifikasinya (Depdiknas 2016)
Dari tujuan pembelajaran matematika di atas, kemampuan penalaran matematis merupakan hal yang penting. Hal ini diperlukan dalam pemahaman matematik, mengeksplor idea, memperkirakan dan menerapkan ekspresi matematik dalam konteks matematik yang relevan, serta memahami bahwa matematika itu bermakna (Soemarmo 2013). Melalui penalaran matematis sebagai mahasiswa yang kemudian akan menerapkan kemampuan tersebut terhadap siswanya kelak. Penalaran matematik merupakan kemampuan dan kegiatan dalam otak yang harus dikembangkan melalui suatu konteks. Pembelajaran dan evaluasi matematika harus menekankan pada penalaran sehingga siswa didorong untuk berpikir kritis, serta membuat jastifikasi berdasarkan proses berpikir dan proses estimasi. Penalaran dibedakan menjadi penalaran induktif dan deduktif, kedua jenis penalaran ini dapat diaplikasikan pada berbagai konsep matematika diantaranya aljabar. Penalaran yang demikian dinamakan penalaran aljabar. Penalaran aljabar dalam bahasa Inggris dikenal sebagai algebraic reasoning atau algebraic thinking.
RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang diatas maka rumusan penelitian ini adalah sebagai berikut:
a) Â Bagaimana pelevelan penalaran aljabar mahasiswa (berdasarkan pelevelan model SOLO)?
b) Â Bagaimana mahasiswa memecahkan empat level penalaran aljabar ( berdasarkan model SOLO) dalam mengkonstruksi proses penalaran aljabar dalam hal:
i. Â Â menyelidiki pola?
ii. Â merepresentasikan dan mengeneralisasi pola?
iii. menerapkan dengan situasi terkait?
iv. menghasilkan solusi alternatif atau situasi baru?
PEMBAHASAN
Aljabar
Aljabar merupakan sebuah bidang kajian dalam matematika juga dapat disebut sebagai bahasa. Aljabar biasanya berkaitan penyelesaian sistem persamaan, menemukan nilai dari suatu yang belum diketahui, menggunakan rumus kuadrat atau bekerja dengan sistem rumus, persamaan dan simbol huruf. Dalam mempelajari aljabar dibutuhkan kemampuan memahami simbol-simbol, operasi dan aturan-aturannya. Kemampuan yang demikian tereksplorasi dalam penalaran aljabar yang didalamnya memuat keterampilan memahami pola-pola dan membuat generalisasinya. Kompetensi matematika materi aljabar sekolah menengah meliputi: menggunakan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel yang memuat nilai mutlak, sistem persamaan linear tiga variabel, fungsi, logika matematika, induksi matematika, program linear dua variabel, matriks, barisan dan deret dalam pemecahan masalah kehidupan sehari-hari.
Menurut Watson (2007: 3) aljabar adalah cara kita menyatakan generalisasi tentang bilangan, kuantitas, relasi dan fungsi. Lebih lanjut menurut Watson (2007: 8), pada level sekolah aljabar dideskripsikan sebagai:
a. Â Menipulasi dan transformasi pernyataan dalam bentuk simbol
b. Â Generalisasi aturan tentang bilangan dan pola-pola
c. Â Kajian tentang struktur dan sistem abstraksi dari komputasi dan relasi
d. Â Aturan dalam tranformasi dan penyelesaian persamaan
e. Â Pembelajaran tentang variabel, fungsi dan mengekspresikan perubahan dan hubungan-hubungannya
f. Â Â Pemodelan struktur matematika dari situasi di dalam atau diluar konteks matematika
Lebih lanjut , Van Amerom, (2003: 64) mengemukakan beberapa perspektif berbeda mengenai aljabar diantaranya: “(1) algebra as a generalized arithmetic, (2) algebra as a problem solving tool, (3) algebra as the study of relationships, ( 4) and algebra as the study of structures” aljabar dapat diartikan: (1) aljabar sebagai generalisasi aritmetika, (2) aljabar sebagai alat pemecahan masalah, (3) aljabar sebagai studi tentang hubungan, (4) dan aljabar sebagai studi tentang struktur.
Dalam mempelajari simbol aljabar, mahasiswa harus memahami operasi dan terbiasa dalam menggunakan notasi. Selain itu mahasiswa haruslah dapat membedakan makna dari simbol huruf sebagai sesuatu yang belum diketahui (unknown), variable, konstanta atau parameter serta memahami makna persamaan dan ekuivalen.(Watson, 2007: 3).
Penalaran Aljabar
Pengertian penalaran aljabar dikemukakan oleh Kaput & Blanton, (2005: 99) yang menyatakan “Algebraic reasoning is a process in which students generalize mathematical ideas from a set of particular instances, establish those generalizations through the discourse of argumentation, and express them in increasingly formal and age-appropriate waysâ€. Penalaran aljabar adalah suatu proses dimana siswa melakukan generalisasi ide matematika dari sekumpulan fakta, menyusun generalisasinya melalui pernyataan dan mengekspresikan pernyataan tersebut dengan cara yang semakin formal dan menyesuaikan dengan usia.
Menurut Windsor (2009: 593), “Algebraic thinking promotes a particular way of interpreting the world. It employs and develops a variety of cognitive strategies necessary to understand increasingly complex mathematical concepts and builds upon students‟ formal and informal mathematical knowledge. Essentially students are using, communicating and making sense of the generalities and relationships inherent in mathematics, rather than just the identification of a single numeric answer or objective factâ€. Penalaran aljabar melibatkan berbagai strategi kognitif yang membantu memahami konsep matematika yang kompleks. Penalaran aljabar dibangun berdasarkan pengetahuan matematika formal dan informal siswa yang meliputi kegiatan menggunakan, mengkomunikasikan, dan membuat generalisasi dan hubungan yang melekat dalam matematika, tidak sekedar mengidentifikasi jawaban numerik atau fakta obyektif yang tunggal.
Peran penting yang dimainkan oleh pendekatan generalisasi dalam pengenalan aljabar
kemampuan pemecahan tidak bisa dipungkiri. Dalam pendekatan ini, kemampuan pemecahan aljabar dapat diletakkan saat siswa terlibat dalam proses investigasi: 1) menemukan pola 2) generalisasi formula oleh menggunakan simbol-simbol aljabar, dan 3) menerapkan rumus untuk memecahkan masalah (Fernandez & Anhalt, 2001; Friedlander & Hershkowitz, 1997; Herbert & Brown, 1997; Mason, 1996).
Ketika kita berpikir tentang penalaran aljabar, juga dapat membantu untuk menentukan Istilah aljabar. NCTM (2000) mencakup uraian aljabar didefinisikan sebagai:
1) Memahami pola, hubungan, dan fungsi;
2) Representasi dan menganalisis situasi matematika dan struktur menggunakan simbol aljabar;
3) Menggunakan model matematika untuk merepresentasikan dan memahami hubungan kuantitatif dan
4) Menganalisis perubahan dalam berbagai konteks.
Pelevelan Penalaran Aljabar
Pegg (2001) menggunakan model SOLO (The structure of The Observed Learning Outcomes) untuk menggambarkan perkembangan pengetahuan aljabar dan kemampuan berpikir (Collis, Romberg, & Jurnak, 1986) dalam empat tahap pelevelan yaitu sebagai berikut:
1). Unistructural – satu bagian yang jelas dari informasi yang digunakan. Informasi itu diperoleh langsung dari gambar (cerita atau situasi masalah).
2). Multistructural – semua bagian yang diperlukan dari informasi yang digunakan secara berurutan tetapi tidak mengintegrasikan mereka. Informasi yang diberikan dapat digunakan sebagai resep di mana satu set instruksi yang diikuti untuk memecahkan masalah.
3). Relational – informasi yang diberikan tidak cukup untuk memecahkan masalah segera. Atau, informasi harus hati-hati saling terkait untuk menghasilkan solusi yang memuaskan atau untuk membentuk struktur.
4). Extended Abstract – respon bahwa penggunaan prinsip umum abstrak atau hipotesis berasal dari atau disarankan oleh informasi dalam batang untuk situasi baru dan lebih abstrak.
Menurut Peggj (2001) model Taksinomi SOLO dalam pelevelan penalaran aljabar
Tabel 1 Pelevelan Aljabar
Pelevelan |
Kategori |
Level 1 (level unistruktural) |
Aktivitas bernalar: Mahasiswa dapat menggunakan satu informasi dari masalah untuk menyusun strategi pemecahan masalah. Mahasiswa mampu menentukan suku selanjutnya dari suatu pola bilangan |
Level 2 (level multistruktural) |
Aktivitas bernalar: Mahasiswa dapat menggunakan lebih dari satu informasi untuk menyusun strategi pemecahan masalah. Mahasiswa mampu mendaftar suku-suku dari suatu pola bilangan. |
Level 3 (Level relasional) |
Aktivitas bernalar: Mahasiswa dengan memprediksi penyelesaian masalah berdasarkan informasi yang dipahami dan mampu membuat generalisasi aljabar dari penyelesaian masalah dengan membuat keterkaitan antar konsep. |
Level 4 (Level extended abstract) |
Aktivitas bernalar: Mahasiswa mampu menggeneralisasikan pola bilangan yang muncul dari masalah Mahasiswa mampu mengubah dan menciptakan ilustrasi baru untuk suatu pola bilangan. Mahasiswa menggunakan prinsip generalisasi abstrak atau hipotesis atau informasi baru dan situasi lebih abstrak. |
Menurut Friedlander dan Hershkowitz (1997) dan Swafford dan Langrall (2000), kemampuan untuk menggunakan persamaan untuk memecahkan dan merepresentasi situasi masalah melibatkan sejumlah proses aljabar terdiri dari tiga tahap yaitu: 1) menyelidiki pola dengan mengumpulkan data numerik; 2) representasi dan generalisasi pola ke dalam tabel dan persamaan; 3) menafsirkan dan menerapkan persamaan dengan terkait atau situasi baru.
Framework Penalaran Aljabar menurut Lim and Idris (2003) tentang aljabar pada persamaan linear meliputi 1) pola linier; 2) variasi langsung; 3) konsep sebuah fungsi; 4) deret aritmatika
Tabel 2 Framework Penalaran Aljabar
|
Unistruktural |
Multistruktural |
Relational |
Extended Abstrack |
Pola linear |
menyelidiki |
kemampuan untuk melihat |
menggeneralisasi pola hubungan simbolis berdasarkan semua |
kemampuan untuk menganalisis mencoba untuk membuat |
Variasi langsung |
menyelidiki bentuk |
kemampuan untuk menggunakan lebih dari satu |
membuat generalisasi dengan |
kemampuan untuk mengekstrak |
Konsep Fungsi |
kemampuan untuk menggunakan satu aspek yang tersedia informasi (tahap pertama dari proses InputOutput yang terlibat hanya satu operasi) ke |
memperhatikan hubungan |
kemampuan untuk menggeneralisasi untuk merepresentasi situasi. kemudian |
Hubungan fungsi |
Deret aritmatika |
menyelidiki |
mengidentifikasi hubungan numerik dari
|
membuat generalisasi dengan |
kemampuan untuk menggunakan |
INSTRUMEN
Instrumen penelitian ini diadopsi dari
Perhatikan Gambar di bawah ini:
Level 1: Unistruktural
Berapa banyak bola pada posisi Fig ke-4? Jelaskan alasanmu
Level 2: Multistruktural
Berapa banyak bola pada posisi Fig.10, Fig.15 dan Fig.25 ? Jelaskan alasanmu
Level Relational
Buatkan rumus pola bilangan Fig. ke-n pada pola gambar tersebut? Jelaskan
Level Entended Abstract
Buatkan rumus pola ke-n lainnya yang mungkin? Jelaskan
Metode Penelitian
Jenis penelitian ini adalah kualitatif deskriptif. Penelitian ini merupakan studi pendahuluan yang dilaksanakan di mahasiswa program studi pendidikan matematika STKIP Sebelas April Sumedang pada semester ganjil tahun pelajaran 2016/2017. Penelitian ini diawali dengan pemberian tes penalaran aljabar kemudian ditindaklanjuti dengan wawancara yang diberikan dengan tujuan ingin mengetahui tanggapan mereka.
Penentuan subjek juga memperhatikan pertimbangan berkaitan dengan kemampuan subjek untuk mengemukakan pendapat atau jalan pikirannya secara lisan maupun tulisan. Hal ini bertujuan agar diperoleh subjek yang dapat mendukung keterlaksanaan penelitian. Data pada penelitian ini dikumpulkan secara langsung oleh peneliti, sehingga instrumen utama penelitian ini adalah peneliti sendiri yang dibantu dengan instrumen tes penalaran aljabar dan wawancara.
HASIL DAN ANALISIS
Penelitian pendahuluan dilakukan dengan memberikan tes tertulis mengenai penalaran aljabar dan dikuti dengan wawancara mengenai tes penalaran aljabar pada materi persamaan linier terhadap 1 kelas (38 orang mahasiswa). Pelevelan penalaran aljabar mahasiswa berdasarkan pelevelan model SOLO, menurut (Collis, Romberg, & Jurnak, 1986) ada empat tahap pelevelan penalaran aljabar yaitu tahap: unistruktural, multistruktural, relational, dan extended abstaract, akan tetapi hasil penelitian ini terdapat enam pelevelan penalaran aljabar yaitu: level unisruktural rendah, level unistuktural, level multistruktural, level relational, level relational tinggi, dan level extended abstract.
Level unistruktural rendah terhadap subjek sebanyak 3 orang atau 7.89% pada level ini subjek samasekali tak memahami apun yang disajikan dalam persoalan yang diberikan, subjek menjawab persoalan hanya dengan menyalin pertanyaan dan membuat jawaban salah tanpa menyelidiki pola yang diberikan njuga tak memahami persoalan yang diberikan.
Pada level unistruktural berdasarkan analisis terhadap subjek sebanyak 15 orang atau 39,47% berasal dari subjek dengan kemampuan rendah adalah sebagai berikut: Subjek dapat menyelidiki pola bergambar dan meneruskan pola berikutnya dengan mengacu langsung dari informasi pada gambar; subjek dapat menyelidiki bentuk variasi langsung dengan mengidentifikasi secara berurut, hanya menggunakan satu atau aspek yang relevan dari informasi untuk menemukan jawaban; subjek memiliki kemampuan untuk menggunakan satu aspek dari informasi yang tersedia (tahap pertama dari proses InputOutput yang terlibat hanya satu operasi), menyelidiki pola sebelumnya yang membutuhkan pemahaman urutan pola bilangan dengan merujuk Informasi langsung yang diberikan dalam gambar.
Pada level multistruktural berdasarkan analisis terhadap subjek sebanyak 15 orang atau 39,47% berasal dari subjek dengan kemampuan sedang hal ini ditunjukkan: subjek memiliki kemampuan untuk melihat pola yang diberikan artinya, subjek dapat mengidentifikasi hubungan rekursif antara istilah dengan urutan yang diberikan , subjek memiliki kemampuan untuk memahami dan menggunakan Informasi yang diberikan dalam menghitung urutan pola secara spesifik dan merefresentasi data; subjek memiliki kemampuan untuk menggunakan lebih dari satu operasi hitung (seperti operasi penambahan dan perkalian) untuk memberikan tanggapan; memperhatikan hubungan variabel numerik, membentuk ekspresi aritmatika untuk menghitung nilai dari variabel terikat dan menyajikannya dalam tabel.
Level Relational sebanyak 3 orang atau 7,89% berasal dari subjek kemampuan tinggi hal ini ditunjukkan oleh: subjek dapat menggeneralisasi pola hubungan simbolis berdasarkan semua informasi yang diberikan dengan mengintegrasikan hasil ekspresi aljabar dan aturan untuk pola gambar serta menerapkan aturan untuk memecahkan situasi terkait; subjek dapat mengeneralisasi dengan mengintegrasikan semua informasi yang diberikan dalam merumuskan ekspresi aljabar dan formula/rumus dengan melibatkan bekerja mundur yang mengharuskan penerapan aturan.
Level Relational tinggi sebanyak 1 orang atau 2,63% berasal dari subjek kemampuan tinggi hal ini ditunjukkan: subjek memiliki kemampuan lebih tinggi dari level relational; subjek memiliki kemampuan untuk menganalisis pola linier dengan luas akan tetapi dalam penggunaan hubungan linier untuk membentuk aturan pola linear baru belum tercapai; subjek mencoba mengekstrak konsep abstrak dari informasi yang diberikan dan menerapkan konsep terkait menjadi yang lebih situasi abstrak akan tetapi hasilnya belum mencapai situasi yang lebih abstrak
Level Extended Abstract sebanyak 1 orang atau 2,63% berasal dari subjek kemampuan sangat tinggi hal ini ditunjukkan: subjek memiliki kemampuan untuk menganalisis pola linear dengan lebih luas. penggunaan hubungan linier, bentuk dan konsep perimeter untuk membentuk aturan pola linear baru, mencoba untuk membuat dugaan dan memverifikasi dugaan deduktif; subjek memiliki kemampuan untuk mengekstrak konsep abstrak dari informasi yang diberikan dan menerapkan konsep terkait menjadi lebih situasi abstrak.
Dari pemaparan di atas subjek dapat memecahkan persoalan yang diberikan berdasarkan model SOLO dalam penelitian ini terdapat enam pelevelan dalam mengkonstruksi proses penalaran aljabar, diantaranya: subjek level unistruktural rendah tidak dapat menyelidiki pola, subjek dapat menyelidiki pola pada level unistrukstural, subjek dapat menyelidiki pola, merepresentasikan dan mengeneralisasi pola pada level multistuktural, Subjek pada relational dapat menyelidiki pola, merepresentasikan dan mengeneralisasi pola, dan menerapkan situasi terkait, subjek pada level relational tinggi dapat menyelidiki pola, merepresentasikan dan mengeneralisasi pola, dan menerapkan situasi terkait dan hampir menghasilkan solusi alternatif, subjek pada level extended abstact menyelidiki pola, merepresentasikan dan mengeneralisasi pola, dan menerapkan situasi terkait, dan menghasilkan solusi alteernatif atau solusi baru.
KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan analisis terhadap kemampuan penalaran aljabar mahasiswa pendidikan matematika semester 5 STKIP Sebelas April Sumedang terdapat emam pelevelan aljabar, yaitu level unistruktural rendah, unistruktural, multistruktural, relational, relational tinggi (lebih tinggi dari relational tetapi belum mencapai level extended abstract) , dan extended abstract. Data tersebut diperoleh dari 38 subjek, yaitu 3 subjek untuk penalaran aljabar level unistruktural rendah, 15 subjek untuk penalaran aljabar level unistruktural, 15 subjek untuk penalaran aljabar level multistruktural, 3 subjek untuk penalaran aljabar level relational, 1 subjek untuk penalaran aljabar level relational tinggi, dan 1 subjek untuk penalaran aljanbar level extended abstract.
Berdasarkan temuan penelitian ini dapat dikemukakan saran untuk peneliti selanjutnya: (a) dapat dilakukan penelitian lebih lanjut untuk mengetahui apakah terdapat level baru sebelum level unistruktural dan juga apakah terdapat level baru setelah level relational sebelum extended abstact; (b) sebagai upaya untuk meningkatkan kemampuan penalaran aljabar mahasiswa, sebaiknya pendidik memberikan suatu pembelajaran yang menarik dan juga memberi bimbingan kontinu dengan memberikan masalah yang berkaitan dengan aljabar dalam memahami operasi, penggunaan variabel, dan operasi variabel pada setiap kesempatan.
REFERENCE
Biggss, J. B. and Collis, K.F. (1982).Evaluating the quality of learning: the SOLO taxonomy. New York, NY: Academic Press. Diakses
http://www.uq.edu.au/teach/assessment/docs/biggs-SOLO.pdf 5 Oktober 2016
Blanton, M.L., Kaput, J.J. Functional Thinking as a Route Into Algebrain the Elementary Grades. International Reviews on Mathematical Education, 37(1), 34–42. 2005. Diakseshttp://www.kaputcenter.umassd.edu/products/instruments/7LAMPComparisonTeacherDailyLog.pdf 2 desember 2016
Lim Hooi Lian and Idris N(2006) Assessing Algebraic Solving Ability Of Form Four Students International Electronic Journal Of Mathematics Education volume 1 number 1 diakses http://www.iejme.com/makale_indir/72 2 Oktober 2016
National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school
mathematics. Reston, VA: NCTM.
Pegg, J. (2001). Fundamental cycles in learning algebra. Retrieved September 7, 2003, from University of New England, Center for Cognition Research in Learning and Research Web site: diakses: http://www.edfac.unimelb.edu.au 2 Oktober 2016
Sumarmo, U (2013). Kumpulan Makalah Berpikir dan Disposisi Matematik serta Pembelajarannya, Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UPI Bandung
Van Ameron, B. A. Focusing on informal strategies when linking arithmetic to early algebra. Educational Studies in Mathematics, 54, 63-75. (2003). Diakses: https://www.jstor.org/stable/3483215 20 nopember 2016
Watson, A. Key Understanding of Mathematics Learning. Paper 6: Algebraic Reasoning. Nuffield Foundation. University of Oxford. (2007) diakses http://www.nuffieldfoundation.org/sites/default/files/P6.pdf 20 Nopember 2016
Windsor, Will. Algebraic Thinking- More to Do with Why, Than X and Y. Proceedings of the 10th International Conference “Models in Developing Mathematics Educationâ€. The Mathematics Education into the 21st Century Project (2009). Diakses: http://www98.griffith.edu.au/dspace/handle/10072/44927 20 Nopember 2016