ANALISIS PENALARAN KOVARIASIONAL MAHASISWA

DALAM MENGKONTRUKSI GRAFIK FUNGSI KEJADIAN DINAMIK

Agus Jaenudin­

STKIP Sebelas April

ABSTRAK

Pada penelitian ini akan dideskripsikan penalaran kovariasional mahasiswa dalam mengkonstruksi grafik fungsi kejadian dinamik dengan cara memberikan tugas tentang bentuk penalaran mahasiswa beserta pengkonstruksian grafiknya dengan mengikuti kerangka kerja penalaran kovariasional yang dikembangkan oleh Carlson, dkk. (2002). Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif yang dilaksanakan pada Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Sebelas April Sumedang. Dari hasil analisis data yang telah dilakukan diperoleh simpulan bahwa subjek telah mampu mengkoordinasikan nilai dari satu variabel dengan perubahan variabel lain dengan cara memberi label sumbu dengan indikasi verbal/lisan dari pengkoordinasian dua variable yaitu y berubah dengan perubahan x (MA 1), sebagian subjek mampu mengkoordinasikan arah perubahan satu variabel terhadap perubahan variabel lain dengan cara menggambar titik-titik yang arahnya naik atau turun dan mampu menyatakannya secara lisan dengan suatu kesadaran arah perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input (MA 2), dan sebagian subjek mampu mengkoordinasikan besarnya perubahan dari satu variabel terhadap perubahan variabel yang lain dengan cara mengkonstruksi kemiringan garis dan menyatakan secara lisan dengan suatu kesadaran dari besarnya perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input (MA 3), Sedangkan untuk MA 4 nampak sudah dilakukan oleh sebagian subjek dalam hal menggambar grafik tetapi masih belum sempurna dan tidak dinyatakan dengan sadar secara lisan. Dan untuk MA 5 belum dipenuhi oleh semua subjek.

Kata Kunci: penalaran kovariasional, grafik fungsi kejadian dinamik.

PENDAHULUAN

Kajian tentang penalaran mahasiswa dalam mengkontruksi grafik fungsi telah banyak dilakukan oleh para peneliti, diantaranya yang telah dilakukan oleh Carlson, dkk. (2002), Stump (2001), dan Saldanha, L., & Thompson, P.W. (1998). Dari beberapa kajian tersebut diperoleh beberapa temuan, diantaranya kemampuan mahasiswa dalam meginterpretasikan grafik fungsi masih sangat kurang. Juga ditemukan bahwa dalam belajar Kalkulus, mahasiswa kesulitan menginterpretasikan dan merepresentasikan kecekungan dan titik belok pada sebuah grafik. Walaupun mahasiswa mampu membuat gambar laju perubahan untuk interval yang berdekatan dari domain fungsi tersebut, namun mahasiswa masih memiliki kesulitan untuk menggambar perubahan nilai kontinu dan tidak bisa secara tepat merepresentasikan dan menginterpretasikan laju peningkatan atau penurunan untuk kejadian fungsi dinamik. Kejadian dinamik merupakan suatu kejadian yang menggambarkan perubahan bentuk. Perubahan nilai pada suatu variabel menyebabkan perubahan nilai pada variabel yang lain. Contoh kejadian dinamik antara lain mengisi botol dengan air (Carlson, 2002). Menurut Subanji (2007), pengkoordinasian dua kuantitas ini sangat terkait dengan konsep fungsi, yaitu salah satu kuantitas dapat dipandang sebagai input (variabel bebas) dan kuantitas yang lain dipandang sebagai output (variabel terikat).

Kemampuan penalaran tentang kovariasi didefinisikan secara formal oleh Carlson, dkk. (2002) sebagai aktivitas kognitif yang melibatkan pengkoordinasian dua macam kuantitas yang berkaitan dengan cara-cara dua kuantitas tersebut berubah satu terhadap yang lain, dan mereka menyebutnya dengan istilah “penalaran kovariasional”. Carlson, dkk. (2002) mengidentifikasi bagaimana penalaran kovariasional mahasiswa mempengaruhi kemampuan mereka dalam menciptakan “sense” dari situasi dinamis, menginterpretasikan grafik, dan membuat grafik.

Carlson, dkk. (2002) telah menyusun kerangka kerja untuk mengukur penalaran kovariasional mahasiswa dalam mengkontruksi grafik fungsi kejadian dinamik dengan mengidentifikasi level-level penalaran kovariasional. Level-level penalaran kovariasional ini didasarkan pada tindakan/aksi mental (mental action) dalam menyelesaikan masalah. Terdapat lima tindakan mental yang disusun oleh Carlson, dkk. Kelima tindakan mental tersebut masing-masing mendeskripsikan suatu aksi mental yang terdiri dari Mental Action 1 (MA 1), Mental Action 2 (MA 2), Mental Action 3 (MA 3), Mental Action 4 (MA 4), dan Mental Action 5 (MA 5).

Berdasarkan uraian di atas penelitian ini memiliki tujuan yaitu menganalisis penalaran kovariasional mahasiswa STKIP Sebelas April Sumedang dalam mengkontruksi grafik fungsi kejadian dinamik dengan menggunkan kerangka kerja yang telah dibuat oleh Carlson, dkk. (2002).

Manfaat penelitian ini diantaranya yaitu hasil analisis penalaran kovariasional ini dapat dijadikan bahan pertimbangan untuk menyusun pembelajaran yang dapat meningkatkan kemampuan penalaran mahasiswa khususnya penalaran kovariasional.

KAJIAN TEORI

Grafik Fungsi Kejadian Dinamik

Dalam mengkontruksi grafik fungsi pada saat ini lebih banyak diperoleh dari suatu fungsi yang telah diketahui persamaanya. Confrey & Smith (1995) berpendapat bahwa pendekatan korespondensi berdasarkan pada definisi fungsi yang abstrak dan agak sempit dan lebih banyak menekankan pada aturan secara eksplisit (biasanya secara aljabar). Penekanan pada pendekatan korespondensi dapat menyebabkan lebih berfokus pada aturan dan rumus untuk mendeskripsikan bagaimana memperoleh nilai output dari nilai input yang diketahui karena lebih banyak diberi sajian notasi, manipulasi, dan rumus fungsi. Berbeda dengan pendekatan korespondensi, pendekatan kovariasi merujuk pada kemampuan untuk membentuk gambaran dua kuantitas yang bervariasi dan mengkoordinasi perubahannya dalam relasi satu sama lain. Pendekatan kovariasi lebih menekankan ekspresi “hubungan” antara dua kuantitas terstruktur yang dapat diekspresikan secara aljabar, secara visual dalam grafik, atau dalam situasi dunia nyata. Dalam situasi dunia nyata misalnya mengisi botol dengan air yang menurut Carlson, dkk. (2002) termasuk dalam kejadian dinamik. Kejadian dinamik merupakan suatu kejadian yang menggambarkan perubahan bentuk. Perubahan nilai pada suatu variabel menyebabkan perubahan nilai pada variabel yang lain.. Menurut Subanji (2007), pengkoordinasian dua kuantitas ini sangat terkait dengan konsep fungsi, yaitu salah satu kuantitas dapat dipandang sebagai input (variabel bebas) dan kuantitas yang lain dipandang sebagai output (variabel terikat). Untuk mengukur kejadian dinamik seperti yang telah dilakukan oleh Carlson, dkk. (2002) dibutuhkan sebuah kemampuan yaitu kemampuan penalaran kovariasional.

Penalaran Kovariasional

Kemampuan penalaran tentang kovariasi didefinisikan oleh Carlson, dkk. (2002) sebagai aktivitas kognitif yang melibatkan pengkoordinasian dua macam kuantitas yang berkaitan dengan cara-cara dua kuantitas tersebut berubah satu terhadap yang lain, dan mereka menyebutnya dengan istilah “penalaran kovariasional”. Carlson, dkk. (2002) mengidentifikasi bagaimana penalaran kovariasional mahasiswa mempengaruhi kemampuan mereka dalam menciptakan “sense” dari situasi dinamis, menginterpretasikan grafik, dan membuat grafik. Carlson, M., dkk (2002) telah menyusun kerangka kerja penerapan penalaran kovariasional mahasiswa dalam menggambar grafik masalah dinamik dengan mengidentifikasi level-level penalaran kovariasional. Level-level penalaran kovariasional ini didasarkan tindakan/aksi mental (mental action) dalam menyelesaikan masalah. Terdapat lima tindakan mental yang disusun oleh Carlson dkk ini. Kelima tindakan mental tersebut masing-masing mendeskripsikan suatu aksi atau tindakan beserta perilakunya. Hal tersebut dapat dilihat pada tabel berikut.

Tabel 1: Tindakan Mental dari Kerangka Kerja Penalaran Kovariasional

Tindakan

Mental

Deskripsi tindakan

Mental

Perilaku

Mental

Action 1

(MA1)

Pengkoordinasian nilai

dari satu variabel

dengan perubahan

variabel lain

–    Melabeli sumbu dengan indikasi verbal/ lisan dari pengkoordinasian dua variable (y berubah dengan perubahan x)

Mental

Action 2

(MA2)

Pengkoordinasian arah

perubahan satu variabel

dengan perubahan

variabel lain

–    Menggambar titik-titik yang arahnya naik

–    Menyatakan secara lisan suatu kesadaran arah perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input.

Mental

Action 3

(MA3)

Pengkoordinasian

besarnya perubahan

dari satu variabe dengan perubahan

variable yang lain

–    Mengkonstruksi kemiringan garis

–    Menyatakan secara lisan suatu kesadaran dari besarnya perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input

Mental

Action 4

(MA4)

Pengkoordinasian

kecepatan rata-rata dari

fungsi dengan kenaikan

seragam dari perubahan

dalam variabel input

–    Mengkonstruksi garis yang berdekatan untuk domain

–    Menyatakan secara lisan suatu kesadaran terhadap kecepatan perubahan output (dengan masingmasing ke input) ketika mempertimbangkan kenaikan seragam dari input.

Mental

Action 5

(MA5)

Pengkoordinasian

kecepatan sesaat dari

fungsi dengan

perubahan kontinu

dalam variabel bebas

untuk keseluruhan

domain dari fungsi

–    Mengkonstruksi kurva mulus dengan tanda yang jelas dari perubahan kecekungan

–    Menyatakan secara lisan suatu kesadaran terhadap kecepatan sesaat dalam kecepatan peru-bahan untuk keseluruhan domain dari fungsi (arah kecekungan dan titik belok adalah benar)

METODE PENELITIAN

Penelitian ini akan mengungkap penalaran kovariasional pada mahasiswa Semester V Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Sebelas April Sumedang dalam merepresentasikan grafik fungsi kejadian dinamik. Penalaran kovariasional dilihat dari perilaku mahasiswa dalam menyelesaikan tugas yang dapat menggambarkan aksi mentalnya. Kejadian dinamik yang dikaji adalah bentuk “konstan-dinamik”, perubahan dengan salah satu varibel tetap sedangkan variabel yang lain adalah berubah-ubah (dinamik). Selanjutnya dicari karakteristik berpikir mahasiswa dalam menyelesaikan masalah kovariasi berdasarkan kerangka kerja penalaran kovariasional. Menurut Moleong (2006) penelitian semacam ini tergolong penelitian kualitatif. Penelitian kualitatif menurut Moleong (2006) merupakan penelitian yang bermaksud untuk memahami fenomena tentang apa yang dialami subjek penelitian misalnya perilaku, persepsi, motivasi, tindakan, dan lain-lain, secara holistik, dan dengan cara deskripsi dalam bentuk kata-kata dan bahasa, pada suatu konteks khusus yang alamiah dan dengan memanfaatkan berbagai metode ilmiah.

Instrumen dalam penelitian ini adalah peneliti sendiri yang dipandu dengan instrumen lembar tugas representasi grafik kejadian dinamik. Peneliti sebagai instrumen, karena peneliti sebagai perencana, pengumpul data, penganalisa data, penafsir data, dan akhirnya menjadi pelapor hasil penelitian. Selain itu peneliti juga dipandu dengan lembar tugas dan pedoman wawancara .

a. Lembar Tugas

Adapun lembar tugas yang akan digunakan dalam penelitian ini merupakan pengembangan lembar tugas kovariasi dari Carlson.

Instrumen Lembar Tugas Carlson (2002):

Bayangkan botol di atas tersebut diisi dengan air. Gambarkan suatu grafik fungsi antara ketinggian air dalam botol dan banyaknya air yang dimasukkan ke dalam botol. Berikan alasan terhadap jawaban saudara.

b. Pedoman Wawancara

Perangkat wawancara dalam penelitian ini adalah lembar pedoman wawancara dan alat perekam suara. Pedoman wawancara berupa pertanyaan-pertanyaan tertulis berdasarkan perkiraan jawaban mahasiswa dari lembar tugas yang diberikan.

Teknik analisis data yang dipergunakan adalah analisis deskriptif kualitatif dan interpretatif yang dilakukan sejak pengumpulan data dimulai. Data merupakan konstruksi makna yang diperoleh dari sumber data. Dalam analisis data kualitatif yang penting adalah bahwa analisis data hendaknya bersifat induktif, generatif, konstruktif dan subjektif sehingga mengandung interpretasi realitas subjek itu sendiri. Data kualitatif dinyatakan sebagai suatu kegiatan yang berlangsung secara terus menerus, oleh karena itu pengumpukan data dan analisis data dikerjakan secara bersama-sama sepanjang penelitian.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dari hasil analisis data yang telah dilakukan diperoleh hasil bahwa subjek telah mampu mengkoordinasikan nilai dari satu variabel dengan perubahan variabel lain dengan cara memberi label sumbu dengan indikasi verbal/lisan dari pengkoordinasian dua variable yaitu y berubah dengan perubahan x (MA 1), sebagian subjek mampu mengkoordinasikan arah perubahan satu variabel terhadap perubahan variabel lain dengan cara menggambar titik-titik yang arahnya naik atau turun dan mampu menyatakannya secara lisan dengan suatu kesadaran arah perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input (MA 2), dan sebagian subjek mampu mengkoordinasikan besarnya perubahan dari satu variabel terhadap perubahan variabel yang lain dengan cara mengkonstruksi kemiringan garis dan menyatakan secara lisan dengan suatu kesadaran dari besarnya perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input (MA 3), Sedangkan untuk MA 4 dan MA 5 nampak sudah dilakukan oleh sebagian subjek tetapi masih belum sempurna dan tidak dinyatakan dengan sadar secara lisan. Berikut hasil pekerjaan dan wawancara keempat orang mahasiswa dalam menyelesaikan lembar tugas dari carlson.

Subjek A mengkontruksi grafik seperti pada gambar di bawah ini.

Hasil Wawancara:

Peneliti: Jelaskan bagaimana anda membuat sketsa grafik?

Subjek A     : Pada saat air belum dimasukkan ke dalam botol, ketinggian air masih nol atau dalam grafik berada di titik (0,0), Pada saat air dimasukkan ke dalam botol perlahan-lahan ketinggian air semakin bertambah, namun kecepatannya semakin berkurang karena ketinggiannya mulai mencapai titik diameter botol, Pada saat air berada dekat dengan titik diameter kecepatannya semakin melambat. Dan meningkat kembali setelah meninggalkan diameter dan semakin cepat lagi pada saat air berada di leher botol. Ketinggian air bertambah semakin cepat hingga air berada di mulut botol [MA 3].

Peneliti       : Coba perhatikan kembali bagian leher botol, apakah selama di leher botol kecepatan air meningkat lebih cepat atau konstan?

Subjek A     : Dibagian leher botol, kecepatan air meningkat, karena memiliki diameter yang kecil. (Masih belum bisa memenuhi MA 4).

Subjek B mengkontruksi grafik seperti pada gambar di bawah ini.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hasil wawancara dengan subjek B, sudah memenuhi MA 1 dan 2 tetapi belum bisa memenuhi MA 3

Subjek C mengkontruksi grafik seperti pada gambar di bawah ini.


 

 

Hasil wawancara pada sujek C sama seperti yang dikemukakan pada jawaban di atas dalam bentuk tulisan tangan mahasiswa. (hanya terepenuhi sampai MA 3).

Subjek D mengkontruksi grafik seperti pada gambar di bawah ini.


 

 

Hasil wawancara dengan subjek D, memenuhi sampai MA 4. Subjek D mampu mengungkapkan secara lisan bahwa kecepatan air konstan sehingga mengalami peningkatan yang seragam, maka dari itu ujung grafik berbentuk garis lurus [MA 4]. Tetapi Subjek D tidak mampu mengungkapkan hal yang memenuhi MA 5.

Dari hasil di atas, apabila kita perhatikan level penalaran kovariasioan dari Carlson (2002) bahwa Subjek A hanya mampu memenuhi sampai level 3 (MA 3) yaitu mampu mengkoordinasikan besarnya perubahan dari satu variabel terhadap perubahan variabel yang lain dengan cara mengkonstruksi kemiringan garis dan menyatakan secara lisan dengan suatu kesadaran dari besarnya perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input. Subjek B hanya mampu memenuhi sampai level 2 (MA 2) yaitu mampu mengkoordinasikan arah perubahan satu variabel terhadap perubahan variabel lain dengan cara menggambar titik-titik yang arahnya naik atau turun dan mampu menyatakannya secara lisan dengan suatu kesadaran arah perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input. Subjek C hanya mampu memenuhi sampai level 3 (MA 3) yaitu mampu mengkoordinasikan besarnya perubahan dari satu variabel terhadap perubahan variabel yang lain dengan cara mengkonstruksi kemiringan garis dan menyatakan secara lisan dengan suatu kesadaran dari besarnya perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input. Subjek D sudah mampu memenuhi sampai level 4 (MA 4) tetapi masih belum sempurna dan tidak dinyatakan dengan sadar secara lisan. Hal tersebut juga terjadi karena setelah melakukan refleksi terhadap jawabannya.

Dari uraian di atas terlihat bahwa semua subjek belum mampu memenuhi sampai level 4 dan 5 secara sempurna. Hal tersebut dikarenakan pembelajaran fungsi dalam mengkontruksi grafiknya lebih menekankan pada fungsi yang telah diketahui persamaanya atau rumus fungsinya. Sementara masalah kovariasional seperti mengkontruksi kejadian fungsi dinamik jarang diberikan di perguruan tinggi kami. Sehingga untuk memahami lebih mendalam dan lebih bermakna terkait dengan pembelajaran fungsi, perlu diberikan masalah-masalah yang terkait dengan kejadian dinamik.

SIMPULAN

Dari hasil dan pembahasan di atas dapat diperoleh simpulan sebagai berikut.

1.   Tindakan mental 1 (MA 1) telah dilakukan oleh seluruh mahasiswa yang menjadi subjek, yaitu telah mampu mengkoordinasikan nilai dari satu variabel dengan perubahan variabel lain dengan cara memberi label sumbu dengan indikasi verbal/lisan dari pengkoordinasian dua variable yaitu y berubah dengan perubahan x.

2.   Tindakan mental 2 (MA 2) juga telah dilakukan oleh seluruh subjek yaitu mampu mengkoordinasikan arah perubahan satu variabel terhadap perubahan variabel lain dengan cara menggambar titik-titik yang arahnya naik atau turun dan mampu menyatakannya secara lisan dengan suatu kesadaran arah perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input/

3.   Tindakan mental 3 (MA 3) sudah dilakukan oleh Subjek A, C, dan D yaitu mampu mengkoordinasikan besarnya perubahan dari satu variabel terhadap perubahan variabel yang lain dengan cara mengkonstruksi kemiringan garis dan menyatakan secara lisan dengan suatu kesadaran dari besarnya perubahan output ketika mempertimbangkan perubahan input.

4.   Sedangkan untuk MA 4 nampak sudah dilakukan oleh sebagian subjek dalam hal menggambar grafik tetapi masih belum sempurna dan tidak dinyatakan dengan sadar secara lisan.

5.   Untuk MA 5, semua subjek belum memenuhi.

REFERENSI

Carlson, dkk. (2002), Applying Covariational Reasoning While Modeling Dynamic Events: A Framework and a Study.

Carlson, M. P. (2002). A Study of Second Semester Calculus Students’ Function Conceptions.

Confrey, J., & Smith, E. (1995). Splitting, Covariation, and Their Role in The Development of Exponential Functions. Journal for Research in Mathematics Education, 26 (1): 66–86.

Hidayanto, E. (2011). Studi Kasus Penalaran Kovariasional Mahasiswa Pada Matakuliah Kalkulus Lanjut. [Online]. Tersedia: https://www.researchgate.net/publication/ 274513115.

Saldanha, L., & Thompson, P.W. (1998). Re-Thinking Covariation from a Quantitative Perspective: Simultaneous Continous Variation. Proceeding of the Annual meeting of the Psychology of Mathematics Education – North America. Raleigh, NC: North Carolina State University.

Stump, S. L. (2001). Developing preservice Teachers’ pedagogical content knowledge of lope. Journal Of Mathematics Behavior, Vol 20 (207-227).

Subanji. (2007). Subanji, 2011. Teori Berpikir Pseudo Penalaran Kovariasional. Malang: UM Press.

Subanji. (2006). Berpikir Pseudo Penalaran Kovariasi dalam Mengkonstruksi Grafik Fungsi Kejadian Dinamik: Sebuah Analisis Berdasarkan Kerangka Kerja VL2P dan Implikasinya pada Pembelajaran Matematika. Jurnal Ilmu Pendidikan. 13 (1): 1 – 8.

Umah, U., dkk. (2014). Penalaran Kovariasional Siswa Kelas Viiib Mts Negeri Kediri 1 Dalam Mengonstruk Grafik Fungsi. [Online]. Tersedia: https://www.researchgate.net/publication/294259258